Cho hàm số \(y = \dfrac{{ - x + 2}}{{x - 1}}\) có...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 1\left( { - 1} \right) - 1.2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{ - {x_0} + 2}}{{{x_0} - 1}}\,\,\left( d \right)\).

\(\begin{array}{l}A\left( {a;1} \right) \in d \Leftrightarrow 1 = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {a - {x_0}} \right) + \dfrac{{ - {x_0} + 2}}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} =  - a + {x_0} + \left( { - {x_0} + 2} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x_0^2 - 2{x_0} + 1 =  - a + {x_0} - x_0^2 + {x_0} + 2{x_0} - 2\\ \Leftrightarrow g\left( {{x_0}} \right) = 2x_0^2 - 6{x_0} + a + 3 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để có đúng một tiếp tuyến từ \(\left( C \right)\) đi qua \(A\) thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép.

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {3^2} - 2\left( {a + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3 - 2a = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{3}{2}\).

TH2: Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm \(x = 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\g\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < \dfrac{3}{2}\\2 - 6 + a + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < \dfrac{3}{2}\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1\) .

\( \Rightarrow S = \left\{ {\dfrac{3}{2};1} \right\} \Rightarrow \) Tổng các phần tử của \(S\) bằng: \(\dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{5}{2}\).

Chọn C.