Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạn...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi điểm: \(MA \cap \left( {SBC} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{MC}}{{AC}}\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(MA \cap \left( {SBC} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{MC}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\).
Kẻ \(AE \bot BC,\,\,AH \bot SE\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AE\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right)\)

\( \Rightarrow BC \bot AH\). Lại có \(AH \bot SE \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A ;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2a \Rightarrow AE = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác vuông \(SAE:\,\,AH = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }}{{\sqrt {3{a^2} + 3{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Chọn C.