Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1\).

Giải chi tiết:

\(\sin 2x + \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m \Leftrightarrow \sin 2x + \sin x + \cos x - 2 = m\).

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1\).

Phương trình trở thành: \({t^2} + t - 3 = m\,\,\left( * \right)\).

Với \(x \in \left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow x + \dfrac{\pi }{4} \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\pi } \right) \Rightarrow t \in \left( {0;\sqrt 2 } \right]\).

Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\) thì phương trình (*) có 1 nghiệm \(t \in \left( {1;\sqrt 2 } \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t - 3\) ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 1 nghiệm \(t \in \left( {1;\sqrt 2 } \right) \Leftrightarrow  - 1 < m <  - 1 + \sqrt 2 \).

Chọn D