Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) . Trên tia đối...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lý phythago cho tam giác vuông \(ABC\)

b) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c

Để chỉ ra \(\Delta CBD\) là tam giác vuông ta có thể chỉ ra nó có hai góc ở đáy bằng nhau, hoặc có hai cạnh bên bằng nhau.

c) Chứng minh tam giác cân: Chỉ ra tam giác ấy có hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau.

d) Sử đụng định lý pi-ta-go cho hai tam giác \(\Delta HAC\) và \(\Delta HAD\)

Rồi biến đổi biểu thức bằng cách thêm bớt để có được điều phải chứng minh.

Giải chi tiết:

a) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\B{C^2} = {6^2} + {8^2}\\B{C^2} = 100\\BC = 10\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vậy \(BC = 10cm.\)

b) Xét hai tam giác \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADC\) ta có :

\(BC\,chung\)

\(\angle BAC = \angle DAC = {90^0}\)

\(AB = AD\) (cách dựng)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADC.\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ADC = \angle ABC\) (góc tương ứng)

Xét tam giác \(CBD\) có:

\(\angle ADC = \angle ABC\)

\( \Rightarrow \Delta CBD\) là tam giác cân.

c) Vì hai tam giác \(\Delta ABC = \Delta ADC.\left( {c.g.c} \right)\)

\(AK\) là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác \(ABC\)

\(AH\) là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác \(ADC\)

\( \Rightarrow AH = AK\) (chiều cao tương ứng)

Vậy \(AH = AK\)

d) Chứng minh : \(A{C^2} + D{H^2} = A{D^2} + H{C^2}\)

Ta có :            

\(A{C^2} + D{H^2} = A{D^2} + H{C^2}\)

Trong \(\Delta AHC\) ta có : \(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\,\left( {phythago} \right)\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow A{C^2} + D{H^2} = A{H^2} + H{C^2} + D{H^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {A{H^2} + D{H^2}} \right) + H{C^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\,\,\,A{D^2}\, + \,H{C^2}\end{array}\)

Vậy : \(A{C^2} + D{H^2} = A{D^2} + H{C^2}\)