Giả sử phương trình \(\log _2^2x - (m + 2){\log _2...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.

+) Đặt ẩn phụ để giải phương trình: ${\log _2}x = t.$ Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

+) Dựa vào dữ kiện ${x_1} + {x_2} = 6$ tìm $m.$ Từ đó tính $\left| {{x_1} - {x_2}} \right|$.

Giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0.$

Đặt ${\log _2}x = t.$ Khi đó ta có phương trình: ${t^2} - \left( {m + 2} \right)t + 2m = 0\;$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} - mt - 2t + 2m = 0\;\;\left( * \right) \Leftrightarrow t\left( {t - m} \right) - 2\left( {t - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - m} \right)\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = m\\t = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = m\\{\log _2}x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {2^m}\\{x_2} = 4.\end{array} \right.\end{array}$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1};\;{x_2} \Leftrightarrow pt\;\;\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m \ne 2.$

Ta có: ${x_1} + {x_2} = 6 \Leftrightarrow {2^m} + 4 = 6 \Leftrightarrow {2^m} = 2 \Leftrightarrow m = 1\;\;\left( {tm} \right).$

$\Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {{2^m} - 4} \right| = \left| {2 - 4} \right| = 2.$

Chọn C.