Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,x,\,\,y\) thỏa mãn \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, sử dụng điều kiện để đưa ra kết luận.

Giải chi tiết:

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = m > 0\\{y^2} = n > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} = m + n = 1\)

Ta có: \(\dfrac{{{m^2}}}{a} + \dfrac{{{n^2}}}{b} = \dfrac{{{{\left( {m + n} \right)}^2}}}{{a + b}} \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{{{m^2}}}{a} + \dfrac{{{n^2}}}{b}} \right) = {\left( {m + n} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} + \dfrac{b}{a}.{m^2} + \dfrac{a}{b}.{n^2} = {m^2} + {n^2} + 2mn\\ \Leftrightarrow \dfrac{b}{a}.{m^2} + \dfrac{a}{b}.{n^2} - 2mn = 0\left( * \right)\end{array}\)

+ Nếu \(\dfrac{a}{b} < 0\)thì

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow  - {\left( {\sqrt { - \dfrac{b}{a}} .m} \right)^2} - 2mn - {\left( {\sqrt { - \dfrac{a}{b}} .n} \right)^2} = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {\sqrt { - \dfrac{b}{a}} .m + \sqrt { - \dfrac{a}{b}} .n} \right)^2} = 0\end{array}\)

    \( \Leftrightarrow \sqrt { - \dfrac{b}{a}} .m + \sqrt { - \dfrac{b}{a}} .n = 0 \Leftrightarrow m = n = 0\)(loại)

+ Nếu \(\dfrac{a}{b} > 0\)thì

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {\dfrac{b}{a}} .m} \right)^2} - 2mn + {\left( {\sqrt {\dfrac{a}{b}} .n} \right)^2} = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {\dfrac{b}{a}} .m - \sqrt {\dfrac{a}{b}} .n} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{b}{a}} .m = \sqrt {\dfrac{a}{b}} .n\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow bm = an \Leftrightarrow b{x^2} = a{x^2}\,\,\,\left( {a.b > 0} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{a} = \dfrac{{{y^2}}}{b} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{a + b}} = \dfrac{1}{{a + b}}\end{array}\)

Ta có: \(\dfrac{{{x^{2n}}}}{{{a^n}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^n}}};\dfrac{{{y^{2n}}}}{{{b^n}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^n}}} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^{2n}}}}{{{a^n}}} + \dfrac{{{y^{2n}}}}{{{b^n}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {a + b} \right)}^n}}}\)