Cho đoạn thẳng AC cố định, điểm B cố định nằm giữa...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Gọi IQ cắt AB tại K và PQ cắt AB tại D.

- Chứng minh \(\Delta CIK \sim \Delta CDP\), \(\Delta CIB \sim \Delta CAP\).

- Chứng minh \(CA.CB = CK.CD\), từ đó chứng minh CK không đổi và suy ra K cố định.

Giải chi tiết:

Gọi IQ cắt AB tại K và PQ cắt AB tại D.

Ta có: \(\angle PIQ = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle KIP = {90^0}\).

Xét tứ giác PDKI có: \(\angle KIP + \angle KDP = {90^0} + {90^0} = {180^0}\), suy ra tứ giác PDKI là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) \( \Rightarrow \angle CKI = \angle CPD\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Xét tam giác CIK và tam giác CDP có:

\(\begin{array}{l}\angle CKI = \angle CPD\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle C\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta CIK \sim \Delta CDP\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{CI}}{{CD}} = \dfrac{{CK}}{{CP}} \Rightarrow CI.CP = CK.CD\,\,\,\left( 1 \right)\).

Xét tam giác CIB và tam giác CAP có:

\(\angle C\,\,chung\)

\(\angle CBI = \angle CPA\)  (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp ABIP).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta CIB \sim \Delta CAP\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{CI}}{{CB}} = \dfrac{{CA}}{{CP}} \Rightarrow CI.CP = CA.CB\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow CA.CB = CK.CD \Rightarrow CK = \dfrac{{CA.CB}}{{CD}}\).

Vì A, B cố định nên D cố định (\(PQ \bot AB\) tại D nên D là trung điểm của AB), C cố định \( \Rightarrow CA,\,\,CB,\,\,CD\) không đổi \( \Rightarrow CK\) không đổi \( \Rightarrow K\) cố định.

Vậy IQ luôn đi qua điểm K cố định.