Cho tứ giác \(ABCD\) ngoại tiếp đường tròn \(\left...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Gọi \(I\) là giao điểm của \(QM\) và \(BD\).

- Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(ABD\), chứng minh \( \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{QD}}.\dfrac{{ID}}{{IB}} = 1.\)

- Chứng minh \(\dfrac{{PC}}{{PD}}.\dfrac{{ID}}{{IB}}.\dfrac{{NB}}{{NC}} = 1\), tiếp tục áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(BCD\), chứng minh \(P,\,\,N,\,\,I\) thẳng hàng.

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là giao điểm của \(QM\) và \(BD\). Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(ABD\) với 3 điểm \(Q,\,\,M,\,\,I\) thẳng hàng ta có \(\dfrac{{QA}}{{QD}}.\dfrac{{ID}}{{IB}}.\dfrac{{MB}}{{MA}} = 1\) mà \(MA = QA\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{QD}}.\dfrac{{ID}}{{IB}} = 1.\)

Ta có \(MB = NB,\,\,DQ = DP,\,\,PC = NC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{DP}}.\dfrac{{ID}}{{IB}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{PC}}{{PD}}.\dfrac{{ID}}{{IB}}.\dfrac{{NB}}{{NC}} = 1,\) do đó theo định lý Menelaus ta được \(I,\,\,N,\,\,P\) thẳng hàng.

Vậy \(NP,MQ,BD\) đồng quy tại \(I\) (đpcm).