Giải phương trình \({x^2} - 1 = \sqrt {x + 1} .\)

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ của phương trình, giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1.\)

Đặt \(\sqrt {x + 1}  = t\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Leftrightarrow x = {t^2} - 1.\)

Khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{t^2} - 1} \right)^2} - 1 = t \Leftrightarrow \left( {{t^2} - 1 - 1} \right)\left( {{t^2} - 1 + 1} \right) = t\\ \Leftrightarrow \left( {{t^2} - 2} \right){t^2} - t = 0 \Leftrightarrow t\left[ {t\left( {{t^2} - 2} \right) - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {{t^3} - 2t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2} - t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t + 1 = 0\\{t^2} - t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\t = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1}  = 0\\\sqrt {x + 1}  = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x + 1 = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - 1;\,\,\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}.\) 

Chọn A.