Cho tam giác ABC vuông tại A, các đường phân giác...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý pytago trong tam giác vuông và bất đẳng thức coossi.

Giải chi tiết:

Vì BM, CN lần lượt là phân giác ABC nên theo tích chất phân giác ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{MC}}{{MA}} = \dfrac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{{MC + MA}}{{MA}} = 1 + \dfrac{{BC}}{{AB}}\\\dfrac{{NB}}{{NA}} = \dfrac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{{BN + NA}}{{NA}} = 1 + \dfrac{{BN}}{{AN}}\end{array}\)

\(\dfrac{{\left( {MC + MA} \right).\left( {NB + NA} \right)}}{{MA + NA}} = \left( {1 + \dfrac{{BC}}{{AB}}} \right)\left( {1 + \dfrac{{BN}}{{AN}}} \right)\)\( = 1 + \dfrac{{B{C^2}}}{{AB.AC}} + \dfrac{{BC}}{{AB}} + \dfrac{{BC}}{{AC}}\).

Áp dụng định lý pytago tam giác vuông ABC và BĐT cosi cho 2 số âm.

Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \ge 2AB.AC \Rightarrow \dfrac{{B{C^2}}}{{AB.AC}} \ge 2\).

          \(\dfrac{{BC}}{{AB}} + \dfrac{{BC}}{{AC}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{BC}}{{AB}}.\dfrac{{BC}}{{AC}}} \)

\( \Rightarrow \dfrac{{\left( {MC + MA} \right).\left( {NB + NA} \right)}}{{MA + NA}} \ge 1 + 2 + 2\sqrt 2  = 3 + 2\sqrt 2 \) (đpcm).