Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạ...

Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$ Gọi M là điểm thuộc cạnh SD sao cho $\vec{S M} = 3 \vec{M D} .$ Mặt phẳng $(A B M)$ cắt cạnh SC tại điểm N. Thể tích khối đa diện MNABCD bằng

A. $\frac{7 a^{3}}{32}$

B. $\frac{15 a^{3}}{32}$

C. $\frac{17 a^{3}}{32}$

D. $\frac{11 a^{3}}{96}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án D

Kẻ $A H ⊥ S B \Rightarrow d (A, (S B C)) = A H = \frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow Δ S A B$ vuông cân tại $A \Rightarrow S A = a$

$\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a . a^{2} = \frac{a^{3}}{3} .$

Kẻ $M N / / C D \Rightarrow \frac{S M}{S D} = \frac{S N}{S C} = \frac{3}{4}$

Ta có: $V_{S . A B D} = V_{S . B C D} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D}$

$\begin{array}{l} \frac{V_{S . A M N B}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A B M} + V_{S . B M N}}{2 V_{S . A B D}} = \frac{1}{2} (\frac{V_{S . A B M}}{V_{S . A B D}} + \frac{V_{S . B M N}}{V_{S . A B D}}) = \frac{1}{2} (\frac{S M}{S D} + \frac{S M}{S D} . \frac{S N}{S C}) = \frac{1}{2} (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} . \frac{3}{4}) = \frac{21}{32} \\ \Rightarrow \frac{V_{M N A B C D}}{V_{S . A B C D}} = \frac{11}{32} V_{S . A B C D} = \frac{11}{32} . \frac{a^{3}}{3} = \frac{11 a^{3}}{96} \end{array}$

Vậy

$V_{M N A B C D} = \frac{11}{32} V_{S . A B C D} = \frac{11}{32} . \frac{a^{3}}{3} = \frac{11 a^{3}}{96}$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết !!

↑