Cho đồ thị hàm số

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Hàm đa thức bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(a\ne 0\right)\left(C\right)$có 2 cực trị thuộc về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình $y\text{'}=0$ có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Số giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+5x+1=0$   ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đáp án A đúng. Do đó C sai.

Dễ thấy điểm   $A\left(1;0\right)$ không thuộc đồ thị hàm số vì $\frac{1}{3}-3+5+1=\frac{10}{3}\ne 0$. Do đó D sai.

Ta có: $y\text{'}=x^2-6x+5=0\iff \left[\begin{array}{l}x=5\\ x=0\end{array}\right.$có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên hai cực trị cùng nằm và bên phải trục tung. Do đó B sai.