Hình chóp S.ABC có đáy

A

- Hướng dẫn giải

Ta có: $SA\perp AB;SA\perp AC;BC\perp AB;BC\perp SA$ 

Suy ra, $BC\perp \left(SAB\right)$ nên: $BC\perp SB$ 

Do đó, tứ diện S.ABC có 4 mặt đều là các tam giác vuông.

Ta có: AB là hình chiếu của SB lên (ABC) nên $\widehat{SBA}={60}^o$

 $$\begin{gathered} \tan \left(\widehat{SBA}\right)=\frac{SA}{AB} \\ \Rightarrow AB=\frac{SA}{\tan \left(\widehat{SBO}\right)}=\frac{a\sqrt{3}}{3}=a\left(=BC\right) \\ AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2} \\ SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^3+a^2}=2a \end{gathered}$$ 

Do đó ta có

$$\begin{gathered} S_{tp}=S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SAC}+S_{ABC} \\ =\frac{1}{2}\left(SA.AB+SB.BC+SA.AC+AB.BC\right) \\ =\frac{1}{2}\left(a\sqrt{3}.a+2a.a+a\sqrt{3}.a\sqrt{2}+a.a\right) \\ =\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}{a}^2 \end{gathered}$$  

Vậy $S_{tp}=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}{a}^2$

Đáp án A