Cho số thực

C

- Hướng dẫn giải

Đặt $I={\int }_a^{\ln \left(10\right)}\frac{e^x}{\sqrt[3]{e^a-1}}dx$

Đặt 

$$\begin{gathered} t=\sqrt[3]{e^a-1}\Rightarrow t^3=e^x-1 \\ \Rightarrow 3t^{2}dt=e^{x}dx \end{gathered}$$

Đổi cận: 

$$\begin{gathered} x=a\Rightarrow t=\sqrt[3]{e^a-1} \\ x=\ln \left(10\right)\Rightarrow t=3 \end{gathered}$$

Khi đó 

$$\begin{gathered} I={\int }_{\sqrt[3]{e^a-1}}^2\frac{3t^{2}dt}{t}=3 \\ {\int }_{\sqrt[3]{e^a-1}}^{2}tdt=\frac{3}{2}{t^2}_{\sqrt[3]{e^a-1}}^2 \\ =\frac{3}{2}\left[4-{\left(e^a-2\right)}^{\frac{2}{3}}\right] \end{gathered}$$

Vậy $\underset{a\to \ln \left(2\right)}{\lim }I=\frac{3}{2}.4=6$

Đáp án C