Cho mặt cầu (S) có bán kính R cố định. Gọi (H) là...

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ký hiệu như hình vẽ. Đặt  $AB=BC=CD=DA=a;$$SO=h$

Suy ra  $SB=\sqrt{\frac{a^2}{2}+h^2}$ 

Gọi M là trung điểm của SB

Trong (SBD) kẻ trung trực của SB cắt SO tại I

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Suy ra $IS=R$.

Hai tam giác vuông SMI và SOB đồng dạng $\Rightarrow \frac{SI}{SB}=\frac{SM}{SO}$$\Rightarrow R=\frac{a^2+2h^2}{4h}$với  $0<h<2R$ .  Suy ra $a^2=2h\left(2R-h\right)$.

Thể tích V của khối chóp là:

$V=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{1}{3}2h^2\left(2R-h\right)$$=\frac{8}{3}\frac{h}{2}\frac{h}{2}\left(2R-h\right)$$\le \frac{8}{3}{\left(\frac{\frac{h}{2}+\frac{h}{2}+2R-h}{3}\right)}^3$$=\frac{64R^3}{81}$

Vậy GTLN của V  bằng $\frac{64R^3}{81}$ đạt được khi  $\frac{h}{2}=2R-h\iff h=\frac{4R}{3}$

Suy ra $a=\frac{4R}{3}$ .