Cho hình chóp S.ABC có

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có $S A = a, S B = b, S C = c$ . Một mặt phẳng $(α)$ đi qua trọng tâm của $Δ A B C$ , cắt các cạnh $S A, S B, S C$ lần lượt tại $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{S {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {C^{'}}^{2}}$ .

A. $\frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

B. $\frac{\sqrt{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

C. $\frac{2}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

D. $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Giả sử $\vec{S A} = x \vec{S A^{'}}; \vec{S B} = y \vec{S B^{'}};$ $\vec{S C} = z \vec{S C^{'}}$ .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = 0$ .

$\Rightarrow 3 \vec{G S} + \vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{S G} = \frac{\vec{S A}}{3} + \frac{\vec{S B}}{3} + \frac{\vec{S C}}{3} \\ \Rightarrow \vec{S G} = \frac{x}{3} . \vec{S A^{'}} + \frac{y}{3} . \vec{S B^{'}} + \frac{z}{3} . \vec{S C^{'}} (1) \end{array}$

Do $(A^{'} B^{'} C^{'})$ đi qua G nên ba vectơ $\vec{G A^{'}}; \vec{G B^{'}}; \vec{G C^{'}}$ đồng phẳng

Suy ra tồn tại 3 số $i; m; n, (i^{2} + m^{2} + n^{2} \neq 0)$ sao cho $i . \vec{G A^{'}} + m . \vec{G B^{'}} + n . \vec{G C^{'}} = 0$

$(i + m + n) . \vec{G S} + i . \vec{S A^{'}}$ $+ m . \vec{S B^{'}} + n . \vec{S C^{'}} = 0$

$\Rightarrow \vec{S G} = \frac{i}{i + m + n} \vec{S A^{'}} + \frac{m}{i + m + n} \vec{S B^{'}}$ $+ \frac{n}{i + m + n} . \vec{S C^{'}} (2)$

Do $S G; S A^{'}; S B^{'}; S C^{'}$ không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có

$\frac{x}{3} = \frac{i}{i + m + n}; \frac{y}{3} = \frac{m}{i + m + n};$ $\frac{z}{3} = \frac{n}{i + m + n}$

$\frac{x + y + z}{3} = \frac{i + m + n}{i + m + n} = 1$ $\Rightarrow x + y + z = 3$

Ta có $\frac{1}{S {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {C^{'}}^{2}}$ $= \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số thực $(\frac{x}{a}; \frac{y}{b}; \frac{z}{c})$ và $(a; b; c)$ ta có .

$(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}})$ $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq {(x + y + z)}^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{S {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {C^{'}}^{2}}$ $\geq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = \frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{x^{2}}{a^{2}} = \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{z^{2}}{c^{2}}$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

↑

Cho hình chóp S.ABC có

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có SA=a,SB=b,SC=c. Một mặt phẳng α đi qua trọng tâm của ΔABC, cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C'. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1SA'2+1SB'2+1SC'2.