Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có thể tích...

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Ta có $\overrightarrow{AC }=\left(0;-2;4\right);\overrightarrow{AB }=\left(1;-1;2\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AC };\overrightarrow{AB }\right]=\left(0;4;2\right)$.

D nằm trên trục Oy nên $D=\left(0;d;0\right)$.

Cách 1:

Ta có $\overrightarrow{AD }=\left(-2;d-1;1\right);\left[\overrightarrow{AC };\overrightarrow{AB }\right]\overrightarrow{AD }=4\left(d-1\right)+2=4d-2$.

$V_{ABCD}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AC };\overrightarrow{AB }\right]\overrightarrow{AD }\right|\Rightarrow \frac{1}{6}\left|4d-2\right|=5\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4d-2=30\\ 4d-2=30\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}d=8\\ d=-7\end{array}\right.\right.$.

Từ đó ta chọn A.

Cách 2:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AC },\overrightarrow{AB }\right]\right|=\sqrt{5}$.

$V=5=\frac{1}{3}.S_{ABC}.d\left(D;\left(ABC\right)\right)\Rightarrow d\left(D;\left(ABC\right)\right)=3\sqrt{5}$.

Mặt phẳng $\left(ABC\right)$: đi qua $A\left(2;1;-1\right)$ và có vtpt $\overrightarrow{n } =\left(0;4;2\right)$.

$\Rightarrow \left(ABC\right):4\left(y-1\right)+\left(z+1\right)=0\iff 2y-2+z+1=0\iff 2y+z-1=0$ 

$d\left(D;\left(ABC\right)\right)=\frac{\left|2.d-1\right|}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}\iff \left\{\begin{array}{l}d=8\\ d=-7\end{array}\right.$. Vậy ta chọn A.