Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai...

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Phương pháp:

Gọi $\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right),\left(\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}\right)$ là một VTPT của $\left(\alpha \right).$ Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right).$

Sử dụng các giả thiết $O\in \left(\alpha \right);A\in \left(\alpha \right);d\left(B;\left(\alpha \right)\right)=\sqrt{3}$ lập hệ phương trình tìm a, b, c.

Cách giải:

Gọi $\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right),\left(\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}\right)$ là một VTPT của $\left(\alpha \right).$

$$\begin{gathered} O\left(0;0;0\right)\in \left(\alpha \right) \\ \Rightarrow \left(\alpha \right):ax+by+cz=0 \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} A\left(1;1;0\right)\in \left(\alpha \right) \\ \Rightarrow a+b=0\Rightarrow b \\ =-a\Rightarrow \left(\alpha \right):ax-ay+cz=0 \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} d\left(B;\left(\alpha \right)\right)=\sqrt{3} \\ \iff \frac{\left|a.0-a.\left(-1\right)+2c\right|}{\sqrt{2a^2+c^2}} \\ =\sqrt{3}\iff \frac{\left|a+2c\right|}{\sqrt{2a^2+c^2}} \\ =\sqrt{3} \end{gathered}$$ 

 $$\begin{gathered} \iff {\left(a+2c\right)}^2=3\left(2a^2+c^2\right) \\ \iff a^2+4ac+4c^2=6a^2+3c^2 \\ \iff 5a^2-4ac-c^2=0 \end{gathered}$$

Cho

$$\begin{gathered} a=1\Rightarrow c^2+4c-5=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}c=1\\ c=-5\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{n}\left(1;-1;1\right) \end{gathered}$$

hoặc $\overrightarrow{n}\left(1;-1;-5\right).$