Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d. Khi đó \(IH = d\left( {I;d} \right)\).

+) Sử dụng định lí Pytago tính HB, suy ra AB.

+) \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB\)

Giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua điểm \(C\left( {1;0; - 3} \right)\) và có vector chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; - 1} \right)\) và có bán kính \(R = 3\sqrt 2 \).

\(\overrightarrow {IC}  = \left( {0; - 2; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IC} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {6;2; - 2} \right)\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d. Khi đó \(IH = d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IC} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\sqrt {44} }}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt {66} }}{3}\)

Suy ra \(HB = \sqrt {18 - {{\left( {\frac{{\sqrt {66} }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{4\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow AB = 2HB = \frac{{8\sqrt 6 }}{3}\).

 Vậy \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {66} }}{3}.\frac{{8\sqrt 6 }}{3} = \frac{{8\sqrt {11} }}{3}\).

Chọn A.