Cho số phức  thỏa mãn hệ thức: \(\left( i+3 \right...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\Rightarrow z\Rightarrow w=a'+b'i\).

Tính \(\left| \text{w} \right|=\sqrt{a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}}}\)

Lưu ý: phương pháp đồng nhất hệ số \(a+bi=a'+b'i\Leftrightarrow a=a';b=b'\).

Giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {i + 3} \right)z + \frac{{2 + i}}{i} = \left( {2 - i} \right)\overline z \\ \Leftrightarrow (i + 3)(a + bi)i + 2 + i = i(2 - i)(a - bi)\\ \Leftrightarrow \left( {ai + b{i^2} + 3a + 3bi} \right)i + 2 + i = (2i - {i^2})(a - bi)\\ \Leftrightarrow  - a - bi + 3ai - 3b + 2 + i = 2ai + 2b + a - bi\\ \Leftrightarrow \left( { - a - 3b + 2} \right) + (3a - b + 1)i = (a + 2b) + (2a - b)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a - 3b + 2 = a + 2b\\3a - b + 1 = 2a - b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 5b = 2\\a =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = \frac{4}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow z =  - 1 + \frac{4}{5}i\\ \Rightarrow {\rm{w}} = z - i =  - 1 - \frac{1}{5}i\\ \Rightarrow \left|{\rm{w}} \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{5}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt{26} }}{5}\end{array}\)

Chọn A