Có bao nhiêu số phức z  thỏa mãn \(|z-3i|=5\)  và...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi số phức cần tìm là \(z=a+bi\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Số phức \(z=a+bi\) là số thuần ảo nếu \(a=0\).

Giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( z\ne 4 \right)\) , ta có \(|z-3i|=5\Leftrightarrow |a+bi-3i|=5 \)

\( \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=25 \) \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-6b=16\)  (1)

Mặt khác \(\frac{z}{{z - 4}} = \frac{{a + bi}}{{a + bi - 4}} = \frac{{(a + bi)(a - 4 - bi)}}{{{{(a - 4)}^2} + {b^2}}} = \frac{{({a^2} - 4a + {b^2}) - 4bi}}{{{{(a - 4)}^2} + {b^2}}}\)

\(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo khi \({{a}^{2}}-4a+{{b}^{2}}=0\)  (2)

Giải hệ (1) và (2):

Lấy  trừ  vế với vế ta được:

\(4a-6b=16\Leftrightarrow 2a-8=3b\Leftrightarrow 2\left( a-4 \right)=3b\Leftrightarrow a-4=\frac{3b}{2}\).

Thay \(a-4=\frac{3b}{2}\) vào  ta được:

\(a.\frac{{3b}}{2} + {b^2} = 0 \Leftrightarrow b\left( {\frac{{3a}}{2} + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b =  - \frac{{3a}}{2}\end{array} \right.\).

Nếu \(b=0\) thì \(a=4\Rightarrow z=4\) (loại do \(z\ne 4\)

Nếu \(b=-\frac{3a}{2}\) thì \(a - 4 =  - \frac{{9a}}{4} \Leftrightarrow a = \frac{{16}}{{13}} \)

\( \Rightarrow b =  - \frac{{24}}{{13}} \Rightarrow z = \frac{{16}}{{13}} - \frac{{24}}{{13}}i\) (thỏa mãn)

Vậy có 1  số phức thỏa mãn bài toán.

Chọn D