Điểm cực đại của đồ thị của hàm số \(y={{x}^{3}}-...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dùng điều kiện cần và đủ của cực trị hàm số để tìm điểm cực đại.

Giải chi tiết:

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x + 2,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\x - 1 = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right..$

Có $y''\left( x \right)=6x-6.$ Để cực đại đạt được tại ${{x}_{0}}$ thì $y''\left( {{x}_{0}} \right)<0\Leftrightarrow {{x}_{0}}-1<0.$ Do đó hàm đã cho đạt cực đại tại điểm ${{x}_{0}}=1-\frac{1}{\sqrt{3}}.$

Khi đó ta có ${{x}_{0}}-1=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$ Do đó

$y\left( {{x}_{0}} \right)=x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}={{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{3}}-\left( {{x}_{0}}-1 \right)={{\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{3}}-\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)=\frac{2\sqrt{3}}{9}.$

Chọn đáp án B.