Cho hình chóp S.ABCD  có SA, AB,AC

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chú ý. Đề có thể bị gõ sai ở chỗ \(S.ABCD\) nên thay bởi \(S.ABC.\)

Phương pháp. Ta xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC.\) Dùng các công thức trong tam giác vuông để xác định độ dài bán kính sau đó tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp theo công thức.

Giải chi tiết:

Lấy \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(ABC.\) Trong mặt phẳng chứa \(SA\) và \(I.\)Dựng đường thẳng \(\text{Iy}\) vuông góc với mặt \(\left( ABC \right).\) Trong mặt phẳng chứa \(SA,Iy\) ta vẽ đường trung trực của \(SA\) cắt \(Iy\) tại điểm \(O.\) Khi đó \(O\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABC.\) Thật vậy, do \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(ABC\) và \(Iy\bot \left( ABC \right)\) nên \(OA=OB=OC.\) Mặt khác \(O\) thuộc đường trung trực của \(SA\) nên \(SO=OA.\) Do đó \(SO=OA=OB=OC.\) Ta tính độ dài \(OA.\) Do \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) nên \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác \(ABC\) ta nhận được \(AI=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a.\) Lấy \(H\) là trung điểm của \(SA.\) Khi đó \(AH=\frac{SA}{2}=a.\) Hơn nữa theo cách dựng ta chứng minh được \(AHOI\) là hình chữ nhật. Kết hợp với \(AI=a=AH.\) Ta nhận được \(AHOI\)là hình vuông cạnh \(a.\) Do \(AO\) là đường chéo của hình vuông cạnh \(a\) nên theo định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(AIO\) ta có \(AO=\sqrt{A{{I}^{2}}+I{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}.\) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABC\) là

\(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .O{{A}^{2}}=4\pi {{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=8\pi {{a}^{2}}.\)

Chọn đáp án B.