Bất phương trình \(\sqrt{2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính đơn điệu của hàm số \(f(x)=\sqrt{2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x+16}-\sqrt{4-x}\), từ đó tìm nghiệm của phương trình \(\sqrt{2{{x}^{2}}+3{{x}^{2}}+6x+16}-\sqrt{4-x}=2\sqrt{3}\)và kết luận tập nghiệm của bất phương trình đã cho.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16 \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} - x + 16} \right) \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow  - 2 \le x \le 4\)

Tập xác định: \(D=\left[ -2;4 \right]\)

Xét hàm số

\(f(x)=\sqrt{2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x+16}-\sqrt{4-x}\)\(\Rightarrow f'(x)=\dfrac{6{{x}^{2}}+6x+6}{\sqrt{2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x+16}}+\dfrac{1}{2\sqrt{4-x}}>0\)

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập xác định

Ta nhận thấy phương trình \(f\left( 1 \right)=2\sqrt{3}\Rightarrow f\left( x \right)\ge f\left( 1 \right)=2\sqrt{3},\forall x\in \left[ 1;4 \right]\).

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ 1;4 \right]\).

Do đó tổng a + b = 5.

Đáp án là A