Tìm m để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi \(x_1^2 + x_2^2 = 18\) về dạng chứa \({x_1}.{x_2};\,\,\,{x_1} + {x_2}\) để thay hệ thức Vi-et của phương trình y’ = 0 vào ta tìm được m.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 2m - 3 \Rightarrow y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + \left( {m - 2} \right)\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + \left( {m - 2} \right) = 0\left( * \right)\end{array}\)

Hàm số đạt 2 cực trị khi và chỉ khi phương trình  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + m + 3 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0\left( {tm} \right)\)

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta được: 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 = 18\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 18\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right) = 18\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 3m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn đáp án D.