1. Giải phương trình \({x^3} - {x^2} - x\sqrt {x -...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. +) Tìm điều kiện xác định

    +) Nhóm hai hạng tử đầu với nhau, đặt nhân tử chung.

    +) Đặt ẩn phụ \(t = x\sqrt {x - 1} \), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình tìm nghiệm t.

    +) Thay t vừa tìm được để tìm nghiệm x. Đối chiếu điều kiện.

2. Đưa phương trình (1) về dạng tích, giải phương trình (1), rút 1 ẩn theo ẩn còn lại và thế vào phương trình (2).

Giải chi tiết:

1. ĐK: \(x \ge 1\).

Biến đổi về phương trình \({x^2}\left( {x - 1} \right) - x\sqrt {x - 1}  - 2 = 0\)

Đặt \(t = x\sqrt {x - 1} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {t^2} = {x^2}\left( {x - 1} \right)\).

Khi đó phương trình đã cho trở thành: \({t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 2\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 2\) \( \Rightarrow x\sqrt {x - 1}  = 2 \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)({x^2} + x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (Vì \({x^2} + x + 2 > 0\,\,\forall x\))

2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy - 2{y^2} = 0{\rm{    }}\,\left( {\rm{1}} \right)\\xy + 3{y^2} + x = 3{\rm{     }}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {{x^2} - {y^2}} \right) + y\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x =  - 2y\end{array} \right.\).

* Với x = y, từ (2) ta có: \(4{x^2} + x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} =  - 1 \Rightarrow {y_1} =  - 1\\{x_2} = \frac{3}{4} \Rightarrow {y_2} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\).

* Với \(x =  - 2y\), từ (2) ta có \({y^2} - 2y - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_1} =  - 1 \Rightarrow {x_1} = 2\\{y_2} = 3 \Rightarrow {x_2} =  - 6\end{array} \right.\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (-1; -1); \(\left( { - 1; - 1} \right);\,\,\left( {\frac{3}{4};\frac{3}{4}} \right);\,\,\left( {2; - 1} \right);\,\left( { - 6;3} \right)\).