Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xét VP, áp dụng BĐT Cô-si cho hai số \(1-a\) và \(1-c\)

+) Sử dụng giả thiết \(1=a+b+c,\) sau đó áp dụng BĐT Cauchy cho hai số \(a+2b+c\) và \(1-b\).

Giải chi tiết:

Ta có 

\(\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c = 1\\
a,b,c > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 1\\
b < 1\\
c < 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - a > 0\\
1 - b > 0\\
1 - c > 0
\end{array} \right.\)

\(\begin{align}  & VP=4\left( 1-a \right)\left( 1-b \right)\left( 1-c \right)\overset{Cauchy}{\mathop{\le }}\,4{{\left( \frac{1-a+1-c}{2} \right)}^{2}}\left( 1-b \right)={{\left( 2-a-c \right)}^{2}}\left( 1-b \right)={{\left( a+2b+c \right)}^{2}}\left( 1-b \right) \\  & \Rightarrow VP\le \left( a+2b+c \right)\left( a+2b+c \right)\left( 1-b \right) \\  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overset{Cauchy}{\mathop{\le }}\,\left( a+2b+c \right){{\left( \frac{a+b+c+1}{2} \right)}^{2}}=\left( a+2b+c \right){{\left( \frac{2}{2} \right)}^{2}}=\left( a+2b+c \right)\,\,\,\left( dpcm \right) \\ \end{align}\)

Dấu bằng xảy ra 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - a = 1 - c\\
a + 2b + c = 1 - b\\
a + b + c = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = c = \frac{1}{2}\\
b = 0
\end{array} \right.\)