Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuy...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\) là tứ giác nội tiếp.

+) Áp dụng tính chất của các góc nội tiếp, góc ở tâm… để chứng minh các góc bằng nhau.

+) Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

Giải chi tiết:

1)      Xét tứ giác ADCE có \(\widehat{AEC}=\widehat{ADC}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{AEC}+\widehat{ADC}={{180}^{0}}\)

Vậy tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn đường kính DE

2)      Tứ giác ADCE nội tiếp suy ra \(\widehat{EAC}=\widehat{EDC}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

                                                  \(\widehat{CAD}=\widehat{CED}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Tương tự ta chứng minh được tứ giác CDBF nội tiếp suy ra

\(\widehat{CBF}=\widehat{CDF}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CF)

\(\widehat{CBD}=\widehat{CFD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Mà \(\widehat{EAC}=\widehat{CBD}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC) và \(\widehat{CAD}=\widehat{CBF}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Nên \(\widehat{EDC}=\widehat{CFD}\), \(\widehat{CED}=\widehat{CDF}\)

Vậy \(\Delta CDE\sim \Delta CED\left( g.g \right)\)

3)      \(\Delta CDE\sim \Delta CED\Rightarrow \widehat{DCE}=\widehat{ECD}\Rightarrow \widehat{ECx}=\widehat{FCx}\). Vậy CD là tia phân giác của\(\widehat{ECD}\)

4)      Tứ giác CIDK có:

\(\widehat{ICK}+\widehat{IDK}=\widehat{ICK}+\widehat{IDC}+\widehat{KDC}=\widehat{ICK}+\widehat{EAC}+\widehat{CBF}=\widehat{ICK}+\widehat{CBA}+\widehat{CAB}={{180}^{0}}\)

Nên tứ giác CIDK nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\) )

 Suy ra \(\widehat{CIK}=\widehat{CDK}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CK)

Mà \(\widehat{CDK}=\widehat{CBF}=\widehat{CAB}\)nên \(\widehat{CIK}=\widehat{CAB}\). Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị nên IK // AB