Tìm số tất cả tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(\dfrac{{C_...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp: Rút gọn biểu thức vế trái để so sánh với vế phải, từ đó tìm ra \(n\)

Vế trái có biểu thức phân thức, do đó dùng phương pháp tích phân:

Xét khai triển: \({\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}}  = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}\)

Lấy tích phân hai vế, cận từ \(a\) đến \(b\) ta được

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right. = \left( {C_n^0x + \dfrac{{C_n^1{x^2}}}{2} + \dfrac{{C_n^2{x^3}}}{3} + ... + \dfrac{{C_n^n{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right.\)

Thay \(b = x\) và \(a = 0\) vào đẳng thức trên ta được

\(\dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} = C_n^0x + \dfrac{{C_n^1{x^2}}}{2} + \dfrac{{C_n^2{x^3}}}{3} + ... + \dfrac{{C_n^n{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) đúng với mọi \(x\)

Tiếp tục lấy tích phân 2 vế, cận từ \(a\) đến \(b\), ta được

\(\int\limits_a^b {\dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}dx}  = \int\limits_a^b {\left( {C_n^0x + \dfrac{{C_n^1{x^2}}}{2} + \dfrac{{C_n^2{x^3}}}{3} + ... + \dfrac{{C_n^n{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)dx} \)

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{n + 2}} - x\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right. = \left[ {\dfrac{{C_n^0{x^2}}}{2} + \dfrac{{C_n^1{x^3}}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2{x^4}}}{{3.4}} + ... + \dfrac{{C_n^n{x^{n + 2}}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right.\)

Thay \(b = 1, a = 0\), ta được

\(\dfrac{{{2^{n + 2}} - \left( {n + 2} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{C_n^0}}{{1.2}} + \dfrac{{C_n^1}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2}}{{3.4}} + ... + \dfrac{{C_n^n}}{{(n + 1)(n + 2)}}\)

So sánh với biểu thức đề bài cho ta được \(n + 2 = 100 \Rightarrow n = 98\)

Chọn đáp án B