Tích các nghiệm của phương trình \({\left( {2 + \s...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận xét: \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = {2^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = {1 \over {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}} =   {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}}\). Đặt ẩn phụ \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = t.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = {2^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = {1 \over {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}} =  \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}},\) khi đó phương trình có dạng \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}} = 14.\)

Đặt \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right),\) phương trình trở thành \(\eqalign{  & t + {t^{ - 1}} = 14 \Leftrightarrow t + {1 \over t} = 14 \Leftrightarrow {t^2} - 14t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {t_1} = 7 + 4\sqrt 3  = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} \hfill \cr   {t_2} = 7 - 4\sqrt 3  = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 2}} \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} \hfill \cr   {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 2}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {x_1} = 2 \hfill \cr   {x_2} =  - 2 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {x_1}{x_2} =  - 4. \cr} \)

Chọn D.