Gọi x và y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ phương trình \({{\log }_{9}}x={{\log }_{6}}y={{\log }_{4}}\left( x+y \right)\), đặt \({{\log }_{9}}x={{\log }_{6}}y={{\log }_{4}}\left( x+y \right)=t\), đưa về phương trình ẩn t và giải phương trình đó, sau đó suy ra tỉ số \(\frac{x}{y}\), đồng nhất hệ số tìm a, b.

Giải chi tiết:

Đặt \({{\log }_{9}}x={{\log }_{6}}y={{\log }_{4}}\left( x+y \right)=t\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x={{9}^{t}} \\& y={{6}^{t}} \\& x+y={{4}^{t}} \\\end{align} \right.\)

\(\Rightarrow {{9}^{t}}+{{6}^{t}}={{4}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{9}{4} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2t}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\,\,\,\,\,\left( tm \right) \\& {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\,\,\,\,\,\left( ktm \right) \\\end{align} \right.\)

Ta có: \(\frac{x}{y}=\frac{{{9}^{t}}}{{{6}^{t}}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}\Rightarrow \frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=1 \\& b=5 \\\end{align} \right.\Rightarrow T=a+b=6\)

Chọn A.