Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\sqrt {{{\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của bất phương trình.

+) Sử dụng công thức \({\log _{{a^n}}}b = {1 \over n}{\log _a}b\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa) để đưa các logarit về cùng cơ số.

+) Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \matrix{  3{x^2} + 4x + 2 > 0\,\,\,\left( {luôn\,đúng} \right) \hfill \cr   {\log _9}\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right) \ge 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x + 2 \ge 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x \le  - 1 \hfill \cr   x \ge  - {1 \over 3} \hfill \cr}  \right.\)

 \(\eqalign{  & \sqrt {{{\log }_9}\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)}  + 1 > {\log _3}\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow \sqrt {{1 \over 2}{{\log }_3}\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)}  + 1 > {\log _3}\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right) \cr} \)

Đặt \(\sqrt {{{\log }_3}\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)}  = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó bất phương trình trở thành

\(\sqrt {{1 \over 2}} t + 1 > {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - \sqrt {{1 \over 2}} t - 1 < 0 \Leftrightarrow  - {{\sqrt 2 } \over 2} < t < \sqrt 2 \)

Kết hợp điều kiện ta có \(0 \le t < \sqrt 2 \)

\(\eqalign{  & 0 \le \sqrt {{{\log }_3}\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)}  < \sqrt 2  \Leftrightarrow 0 \le {\log _3}\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right) < 2 \Leftrightarrow 1 \le 3{x^2} + 4x + 2 < 9  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  3{x^2} + 4x + 1 \ge 0 \hfill \cr   3{x^2} + 4x - 7 < 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  \left[ \matrix{  x >  - {1 \over 3} \hfill \cr   x <  - 1 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr    - {7 \over 3} < x < 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left( { - {7 \over 3}; - 1} \right] \cup \left[ { - {1 \over 3};1} \right) \cr} \)

Vậy các nghiệm nguyên của bất phương trình trên là \(x \in \left\{ { - 2;-1;0} \right\}\)

Chọn D.