Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\frac{1+i}{z}\) là số...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp. Sử dụng giả thiết để tìm được \(z=a+ai\,\,\left( a\in \mathbb{R} \right).\) Thay vào \(\left| z-2 \right|={{m}_{0}})\) và sử dụng yêu cầu bài toán để biện luận và tìm giá trị của \({{m}_{0}}.\)

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Giả sử \(z=a+bi\,\left( a,b\in R,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0 \right).\)

Khi đó ta có \(\frac{1+i}{a+bi}=\frac{\left( 1+i \right)\left( a-bi \right)}{\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)}=\frac{\left( a+b \right)+i\left( a-b \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\in R\Rightarrow \frac{a-b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0\Rightarrow a=b\Rightarrow z=a+ai.\)

Thay vào \(\left| z-2 \right|={{m}_{0}}.\)

Ta nhận được

\(\begin{array}{l}\,\,\,{m_0} = \left| {\left( {a + ai} \right) - 2} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {a^2}} = \sqrt {2\left( {{a^2} - 2a + 2} \right)} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m_0} > 0\\2{a^2} - 4a + 4 - m_0^2 = 0\,\,\left( 1 \right).\end{array} \right.\end{array}\)

Để có đúng một nghiệm phức thỏa mãn bài toán thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có duy nhất một nghiệm \(a.\)

Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) phải thỏa mãn \(\Delta '={{2}^{2}}-2\left( 4-m_{0}^{2} \right)=0\Leftrightarrow 2m_{0}^{2}-4=0\Leftrightarrow {{m}_{0}}=\pm \sqrt{2}.\)

Kết hợp với điều kiện \({{m}_{0}}>0\) ta suy ra giá trị cần tìm là \({{m}_{0}}=\sqrt{2}\in \left( 1;\frac{3}{2} \right).\)

Chọn đáp án D.