Kết luận nào sau đây đúng về nghiệm của hệ phương...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (2) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (1)

Giải chi tiết:

ĐK: \(x\ge \left| y \right|\)

Từ phương trình (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {x + y}  + 2\sqrt {x - y}  = 2\sqrt {{x^2} - {y^2}}  + 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + y}  - 2\sqrt {{x^2} - {y^2}}  + 2\sqrt {x - y}  - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + y} \left( {1 - 2\sqrt {x - y} } \right) + 2\sqrt {x - y}  - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - 2\sqrt {x - y} } \right)\left( {\sqrt {x + y}  - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - y}  = \frac{1}{2}\\\sqrt {x + y}  = 1\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(\sqrt{x-y}=\frac{1}{2}\)  kết hợp với  phương trình (1) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + y}  + \sqrt {x - y}  = 1\\\sqrt {x - y}  = \frac{1}{2}\quad \quad \;\;\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + y}  = \frac{1}{2}\\\sqrt {x - y}  = \frac{1}{2}\;\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{1}{4}\\x - y = \frac{1}{4}\;\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\y = 0\;\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( \frac{1}{4};0 \right)\)

+) Với \(\sqrt{x+y}=1\)  kết hợp với  phương trình (1) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + y}  + \sqrt {x - y}  = 1\\\sqrt {x + y}  = 1\quad \quad \;\;\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + y}  = 1\\\sqrt {x - y}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{2}\;\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( x;y \right)\) là \(\left( \frac{1}{4};0 \right)\),\(\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)\)

Chọn B.