Cho \(a,\,b,\,c > 0;\,a + b + c = 3\). Giá trị...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để sử dụng được giả thiết a + b + c = 3, ta cần đánh giá làm mất từng dấu căn thức trong biểu thức S. Ta sử dụng bất đẳng thức \(\sqrt {ab}  \le {{a + b} \over 2}\) như sau: \(\sqrt {3a + b}  = {1 \over {\sqrt \alpha  }}\sqrt {\left( {3a + b} \right).\alpha }  = {1 \over {\sqrt \alpha  }}.{{3a + b + \alpha } \over 2}\).

Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(3a + b = \alpha \)

Tương tự với \(\sqrt {3b + c} \) và \(\sqrt {3c + a} \)

Vấn đề đặt ra là làm thế nào ta tìm được hệ số \(\alpha \) ?

Dựa vào giả thiết \(a + b + c = 3\) và nhận xét biểu thức S có tính chất đối xứng đối với các biến \(a,b,c\) nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi \(a = b = c = 1\).

Suy ra \(3a + b = 4\). Do đó \(\alpha  = 4\).  

Giải chi tiết:

\(\sqrt {3a + b}  = {1 \over 2}.\sqrt {\left( {3a + b} \right).4}  \le {1 \over 2}.{{\left( {3a + b} \right) + 4} \over 2} = {1 \over 4}.(3a + b + 4)\)

Tương tự:  \(\sqrt {3b + c}  \le {1 \over 4}.(3b + c + 4)\) và \(\sqrt {3c + a}  \le {1 \over 4}.(3c + a + 4)\)

\( \Rightarrow S = \sqrt {3a + b}  + \sqrt {3b + c}  + \sqrt {3c + a}  \le {1 \over 4}\left[ {4\left( {a + b + c} \right) + 12} \right]\)

Vì a + b + c = 3 nên ta có \(S \le 6\)

\(\,Max\,S = 6 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  3a + b = 4  \cr   3b + c = 4 \hfill \cr   3c + a = 4  \cr   a + b + c = 3  \cr}  \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\)

Chọn C.