Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC, BA lấy các...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Để tính góc \(\widehat {BIC}\) áp dụng công thức tích vô hướng giữa hai vector \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right)\).

- Muốn vậy trước hết phải tính tích vô hướng \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {IC} \) hay có thể mở rộng ra là \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CN} \).

- Biểu diễn 2 vector \(\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {CN} \) theo các vector \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \).

- Sử dụng tính chất của tam giác đều \(A{B^2} = A{C^2} = B{C^2},\widehat {ABC} = \widehat {BCA} = \widehat {BAC} = {60^0}.\)

Giải chi tiết:

Vì \(I \in CN\) nên ta có thể giả sư tồn tại x > 0 sao cho

\(\eqalign{  & \overrightarrow {CI}  = x\overrightarrow {CN}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CI}  = \overrightarrow {BC}  + x\overrightarrow {CN}   \cr   &  \Leftrightarrow \overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BC}  + x\left( {\overrightarrow {BN}  - \overrightarrow {BC} } \right)  \cr   &  \Leftrightarrow \overrightarrow {BI}  = \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {BC}  + x\overrightarrow {BN}   \cr   &  \Leftrightarrow \overrightarrow {BI}  = {{2x} \over 3}\overrightarrow {BA}  + \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {BC}  \cr} \)

Tương tự như trên ta có vì \(I \in AM\) tồn tại số \(a \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {BI}  = a\overrightarrow {BA}  + \left( {1 - a} \right)\overrightarrow {BM}  = a\overrightarrow {BA}  + {{1 - a} \over 3}\overrightarrow {BC} \)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{  {2 \over 3}x = a \hfill \cr   1 - x = {{1 - a} \over 3} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {2 \over 3}x = a \hfill \cr   1 - x = {1 \over 3} - {2 \over 9}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = {6 \over 7} \hfill \cr   a = {4 \over 7} \hfill \cr}  \right.\)

Suy ra \(\overrightarrow {BI}  = {4 \over 7}\overrightarrow {BA}  + {1 \over 7}\overrightarrow {BC} .\)

Ta có: \(\overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {CB}  + {2 \over 3}\overrightarrow {BA}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} .\)  Suy ra

\(\eqalign{  & \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CN}  = \left( {{4 \over 7}\overrightarrow {BA}  + {1 \over 7}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {{2 \over 3}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right)  \cr   &  = {8 \over {21}}{\overrightarrow {BA} ^2} - {4 \over 7}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + {2 \over {21}}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA}  - {1 \over 7}{\overrightarrow {BC} ^2}  \cr   &  = {8 \over {21}}A{B^2} - {1 \over 7}A{B^2} - {{10} \over {21}}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}   \cr   &  = {5 \over {21}}A{B^2} - {{10} \over {21}}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  \cr} \).

Ta có: \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = BA.BC.\cos {60^0} = {1 \over 2}B{A^2} \Rightarrow \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CN}  = {5 \over {21}}A{B^2} - {5 \over {21}}A{B^2} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {BI}  \bot \overrightarrow {CN} \)

Vậy \(\widehat {BIC} = {90^0}\).

Chọn B.