Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC, BA lấy các...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Để tính góc $\widehat {BIC}$ áp dụng công thức tích vô hướng giữa hai vector $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right)$.

- Muốn vậy trước hết phải tính tích vô hướng $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {IC}$ hay có thể mở rộng ra là $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CN}$.

- Biểu diễn 2 vector $\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {CN}$ theo các vector $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA}$.

- Sử dụng tính chất của tam giác đều $A{B^2} = A{C^2} = B{C^2},\widehat {ABC} = \widehat {BCA} = \widehat {BAC} = {60^0}.$

Giải chi tiết:

Vì $I \in CN$ nên ta có thể giả sư tồn tại x > 0 sao cho

$\eqalign{  & \overrightarrow {CI}  = x\overrightarrow {CN}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CI}  = \overrightarrow {BC}  + x\overrightarrow {CN}   \cr   &  \Leftrightarrow \overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BC}  + x\left( {\overrightarrow {BN}  - \overrightarrow {BC} } \right)  \cr   &  \Leftrightarrow \overrightarrow {BI}  = \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {BC}  + x\overrightarrow {BN}   \cr   &  \Leftrightarrow \overrightarrow {BI}  = {{2x} \over 3}\overrightarrow {BA}  + \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {BC}  \cr}$

Tương tự như trên ta có vì $I \in AM$ tồn tại số $a \ne 0$ sao cho $\overrightarrow {BI}  = a\overrightarrow {BA}  + \left( {1 - a} \right)\overrightarrow {BM}  = a\overrightarrow {BA}  + {{1 - a} \over 3}\overrightarrow {BC}$

Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \matrix{  {2 \over 3}x = a \hfill \cr   1 - x = {{1 - a} \over 3} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {2 \over 3}x = a \hfill \cr   1 - x = {1 \over 3} - {2 \over 9}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = {6 \over 7} \hfill \cr   a = {4 \over 7} \hfill \cr}  \right.$

Suy ra $\overrightarrow {BI}  = {4 \over 7}\overrightarrow {BA}  + {1 \over 7}\overrightarrow {BC} .$

Ta có: $\overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {CB}  + {2 \over 3}\overrightarrow {BA}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} .$  Suy ra

$\eqalign{  & \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CN}  = \left( {{4 \over 7}\overrightarrow {BA}  + {1 \over 7}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {{2 \over 3}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right)  \cr   &  = {8 \over {21}}{\overrightarrow {BA} ^2} - {4 \over 7}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + {2 \over {21}}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA}  - {1 \over 7}{\overrightarrow {BC} ^2}  \cr   &  = {8 \over {21}}A{B^2} - {1 \over 7}A{B^2} - {{10} \over {21}}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}   \cr   &  = {5 \over {21}}A{B^2} - {{10} \over {21}}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  \cr}$.

Ta có: $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = BA.BC.\cos {60^0} = {1 \over 2}B{A^2} \Rightarrow \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CN}  = {5 \over {21}}A{B^2} - {5 \over {21}}A{B^2} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {BI}  \bot \overrightarrow {CN}$

Vậy $\widehat {BIC} = {90^0}$.

Chọn B.