Cho \(\Delta ABC\) đều, trên các...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất tam giác đều, tính chất ba đường trung trực của tam giác.

Giải chi tiết:

a) Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AB=BC=AC;\,\,\,\widehat{ABC}=\widehat{CAB}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác đều).

Mà AM = BN = CP nên suy ra BM = CN = AP.

Xét \(\Delta AMP\) và \(\Delta BNM\) có:

\(\left\{ \begin{align} & AM=BN\left( cmt \right) \\  & \widehat{MAP}=\widehat{MBN}\left( gt \right) \\  & AP=BM\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta AMP=\Delta BNM\left( c-g-c \right)\)

\(\Rightarrow MP=MN\)  (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta BNM\) và \(\Delta CPN\) có:

\(\left\{ \begin{align} & CP=BN\left( cmt \right) \\  & \widehat{PCN}=\widehat{MBN}\left( gt \right) \\  & NC=BM\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta CPN=\Delta BNM\left( c-g-c \right)\Rightarrow PN=MN\) (2 cạnh tương ứng)

Từ đó suy ra MN = MP = PN. Vậy \(\Delta MNP\) là tam giác đều.

b) Vì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Suy ra các tia AO, BO, CO lần lượt là đường phân giác của \(\widehat{BAC},\widehat{ABC},\widehat{ACB.}\)

Mặt khác vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều \(\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{CBA}=\widehat{BCA}\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\) (tính chất tia phân giác)

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta BON\) có:

\(\left\{ \begin{align} & AO=BO\left( cmt \right) \\  & \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}\left( cmt \right) \\  & AM=BN\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta AOM=\Delta BON\left( c-g-c \right)\Rightarrow OM=ON\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta COP\) có:

\(\left\{ \begin{align}  & AO=CO\left( cmt \right) \\  & \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\left( cmt \right) \\ & AM=CP\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta AOM=\Delta COP\left( c-g-c \right)\Rightarrow OM=OP\) (2 cạnh tương ứng)

Từ đó suy ra \(OM=ON=OP\Rightarrow \) O cũng là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta MNP.\)