Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Trên tia đối của các...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất tam giác cân, tính chất tia phân giác và tính chất đường trung trực.

Giải chi tiết:

a) Ta có \(\left\{ \begin{align}  & \widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{ABD}={{180}^{0}} \\  & \widehat{{{C}_{1}}}+\widehat{ACE}={{180}^{0}} \\ \end{align} \right.\) (kề bù) mà \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) \(\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\)(tính chất tam giác cân)

\(\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left( cmt \right)\)

 BD = CE (gt)

\(\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACE\left( c-g-c \right)\Rightarrow AD=AE\)(2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow \Delta ADE\)cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

b) Vì \(\Delta ABD=\Delta ACE\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{DAB}=\widehat{KAC}\)(2 góc tương ứng).

Vì M là trung điểm của BC (gt) mà \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) suy ra AM là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (tính chất tam giác cân)

\(\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (tính chất tia phân giác).

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & \widehat{DAM}=\widehat{DAB}+\widehat{BAM} \\  & \widehat{MAE}=\widehat{CAE}+\widehat{MAC} \\  & \widehat{DAB}=\widehat{KAC}\left( cmt \right) \\  & \widehat{BAM}=\widehat{MAC}\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{DAM}=\widehat{MAE}\)

Suy ra AM là phân giác của \(\widehat{DAE}\).

c) Xét \({{\Delta }_{v}}AHB\) và \({{\Delta }_{v}}AKC\) có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{HAB}=\widehat{KAC}\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow {{\Delta }_{v}}AHB={{\Delta }_{v}}AKC\)(cạnh huyền – góc nhọn)

\(\Rightarrow \widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\)(2 góc tương ứng)

Ta gọi BH và CK giao nhau tại I.

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & \widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{{{B}_{2}}}+\widehat{{{B}_{3}}}={{180}^{0}}\left( gt \right) \\  & \widehat{{{C}_{1}}}+\widehat{{{C}_{2}}}+\widehat{{{C}_{3}}}={{180}^{0}}\left( gt \right) \\  & \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\left( cmt \right) \\  & \widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{{{B}_{3}}}=\widehat{{{C}_{3}}}\)

\(\Rightarrow \Delta BIC\) cân tại I (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Suy ra I thuộc đường trung trực của BC.

Lại có \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) và AM là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (cmt) suy ra AM là đường trung trực của \(\Delta ABC\). Vậy A, I, M thẳng hàng. Suy ra AM, BH, CK đồng quy tại I.