Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm \(n\) bằng các công thức \({P_n} = n!;\,\,A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\) và \(C_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!.k!}}.\)Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.

Giải chi tiết:

Từ giả thiết, ta có \(6.C_{n\, + \,1}^{n\, - \,1} = A_n^2 + 160 \Leftrightarrow 6.{{\left( {n + 1} \right)!} \over {\left( {n - 1} \right)!.2!}} = {{n!} \over {\left( {n - 2} \right)!}} + 160.\)

\( \Leftrightarrow 3n\left( {n + 1} \right) = n\left( {n - 1} \right) + 160 \Leftrightarrow 2{n^2} + 4n - 160 = 0 \Leftrightarrow n = 8\) (vì điều kiện \(n \ge 2\)).

Khi đó, ta được khai triển \(\left( {1 - 2{x^3}} \right){\left( {2 + x} \right)^8} = {\left( {2 + x} \right)^8} - 2{x^3}{\left( {2 + x} \right)^8}.\)

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\({\left( {2 + x} \right)^8} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^k}.\) Suy ra hệ số của \({x^7}\) ứng với \(k = 7.\)

\(\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {2 + x} \right)^8}\)  là \(2.C_8^7.\)

\({x^3}{\left( {2 + x} \right)^8} = {x^3}.\sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^{k\, + \,3}}.\) Suy ra hệ số của \({x^7}\) ứng với \(k + 3 = 7 \Leftrightarrow k = 4.\)

\(\buildrel {} \over \longrightarrow \) Hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({x^3}{\left( {2 + x} \right)^8}\) là \({2^4}.C_8^4.\)

Vậy hệ số cần tìm là \(2.C_8^7 - {2.2^4}.C_8^4 =  - \,2224.\)

Chọn A