Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) đỉnh \(S,\) c...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Giải chi tiết:

Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC\) và \(I=SK\cap MN\)

Từ giả thiết \(\Rightarrow \,\,MN=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2},\) \(MN\parallel BC\)\(\Rightarrow \,\,I\) là trung điểm của \(SK\) và \(BC.\)

Ta có \(\Delta \,SAB=\Delta \,SAC\)\(\Rightarrow \) Hai trung tuyến tương ứng \(AM=AN.\)

\(\Rightarrow \,\,\Delta \,AMN\) cân tại \(A\)\(\Rightarrow \,\,AI\bot MN.\) Mà \(\left( SBC \right)\bot \left( AMN \right)\Rightarrow AI\bot \left( SBC \right)\)

\(\Rightarrow \,\,AI\bot SK.\)

Suy ra tam giác \(SAK\) cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,SA=AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Khi đó \(S{{K}^{2}}=S{{B}^{2}}-B{{K}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow AI=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \frac{SK}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}.\)

Vậy diện tích tam giác \(AMN\) là \({{S}_{\Delta \,AMN}}=\frac{1}{2}MN.AI=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{16}.\)

Chọn D