Cho các số thực x, y thỏa mãn \({x^2} + {...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh với mọi a, b ta có \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\) từ đó áp dụng để tìm giá trị lớn nhất của M

Giải chi tiết:

Cho các số thực x, y thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1\).

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: \(M = \sqrt 3 xy + {y^2}\).

Với mọi a, b ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\;\;\left( * \right)\)

Áp dụng (*) ta có:

\(M = \sqrt 3 xy + {y^2} = \left( {\sqrt 3 x} \right)y + {y^2} \le \frac{{{{\left( {\sqrt 3 x} \right)}^2} + {y^2}}}{2} + {y^2} = \frac{{3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{2} = \frac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 x = y\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \sqrt 3 x\\3{x^2} + {x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \sqrt 3 x\\{x^2} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\y = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \({M_{\max }} = \frac{3}{2}\) khi \(x = \frac{1}{2};y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 1}}{2};y = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\)

+) Xét \(2M + 1 = 2\left( {\sqrt 3 xy + {y^2}} \right) + 1 = 2\sqrt 3 xy + 2{y^2} + {x^2} + {y^2}\)

                      \( = {x^2} + 2x.\sqrt 3 y + 3{y^2} = {\left( {x + \sqrt 3 y} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, y.

\( \Rightarrow M \ge \frac{{ - 1}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt 3 y = 0\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 3 y\\{\left( { - \sqrt 3 y} \right)^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 3 y\\{y^2} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\y = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) 

Vậy \({M_{\min }} = \frac{{ - 1}}{2}\) khi \(x = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2};y = \frac{1}{2}\) hoặc \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{2};y = \frac{{ - 1}}{2}.\)

Chọn A.