Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chia vế cho vế hai phương trình.

Giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12\\2{\left( {x + y} \right)^2} - {y^2} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} + {y^2} + 4xy = 14\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Chia vế cho vế (1) cho (2) ta được :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{2{x^2} + {y^2} + 3xy}}{{2{x^2} + {y^2} + 4xy}} = \dfrac{6}{7}\\ \Leftrightarrow 14{x^2} + 7{y^2} + 21xy = 12{x^2} + 6{y^2} + 24xy\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + {y^2} - 3xy = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Dễ thấy \(y = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình \( \Rightarrow y \ne 0\).

Chia cả 2 vế của (*) cho \({y^2} \ne 0\) ta có: \(2\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + 1 - \dfrac{{3x}}{y} = 0\). Đặt \(t = \dfrac{x}{y}\) ta có:

\(2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{y} = 1\\\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\2x = y\end{array} \right.\)

Thay \(x = y\) vào (1) ta có: \(2{x^2} + {x^2} + 3{x^2} = 12 \Leftrightarrow 6{x^2} = 12 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2  = y\).

Thay \(y = 2x\) vào (1) ta có: \(2{x^2} + 4{x^2} + 6{x^2} = 12 \Leftrightarrow 12{x^2} = 12 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;\,\,y = 2\\x =  - 1;\,\,y =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy các nghiệm dương của hệ là \(\left( {1;2} \right),\,\,\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\).

Chọn A.