Tổng các nghiệm của phương trình \({\left( {x - 2}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Ta sử dụng đẳng thức sau: \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2} + {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right]\)

Giải chi tiết:

\({\left( {x - 2} \right)^3} + {\left( {x - 4} \right)^3} + {\left( {x - 7} \right)^3} - 3\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2} + {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right]\)

\( \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c = 0}\\{a = b = c}\end{array}} \right.\)

Đăt \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = a\\x - 4 = b\\x - 7 = c\end{array} \right..\) Khi đó ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\a = b = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 + x - 4 + x - 7 = 0\\x - 1 = x - 4 = x - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 13 = 0\\VN\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{3}.\)

Chọn  D.