Gọi \({a_k}\) là hệ số của số hạng chứa \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\)

Số hạng tổng quát của khai triển là \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)

Thay hệ số của khai triển vào biểu thức \({a_1} + 2\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}} + 3\frac{{{a_3}}}{{{a_2}}} + ... + n\frac{{{a_n}}}{{{a_{n - 1}}}} = 72\) để tìm giá trị của \(n.\)

Giải chi tiết:

Ta có:  \({(1 + 2x)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{(2x)^k} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n {2^k}C_n^k{x^k} \Rightarrow {a_k} = {2^k}C_n^k.\)

Do đó:  \(k\frac{{{a_k}}}{{{a_{k - 1}}}} = k\frac{{{2^k}C_n^k}}{{{2^{k - 1}}C_n^{k - 1}}} = 2k.\frac{{\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}}}{{\frac{{n!}}{{(k - 1)!(n - k + 1)!}}}} = 2k.\frac{{\frac{1}{k}}}{{\frac{1}{{n - k + 1}}}} = 2(n - k + 1).\)

Do đó theo giả thiết có: \(S = {a_1} + 2.\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}} + 3.\frac{{{a_3}}}{{{a_2}}} + ....... + n.\frac{{{a_n}}}{{{a_{n - 1}}}} = 72\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \mathop \sum \limits_{k = 1}^n k\frac{{{a_k}}}{{{a_{k - 1}}}} = \mathop \sum \limits_{k = 1}^n 2(n - k + 1) = 72\;\;\left( {n \in {N^*}} \right)\\ \Leftrightarrow 2n(n + 1) - 2\mathop \sum \limits_{k = 1}^n k = 72\\ \Leftrightarrow 2n\left( {n + 1} \right) - 2\left( {1 + 2 + ... + n} \right)\\ \Leftrightarrow 2n(n + 1) - n(n + 1) = 72\;\;\;\;\;\;\left( {do\;\;1 + 2 + .... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2{n^2} + 2n - {n^2} - n = 72\\ \Leftrightarrow {n^2} + n - 72 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\;\;\left( {tm} \right)\\n =  - 9\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn A