Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({u_n}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

+) Nếu \(H > 0,\,\forall n \in {N^*} \Rightarrow \) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.

+) Nếu \(H < 0,\,\forall n \in {N^*} \Rightarrow \) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại 2 số \(M,\,m\) sao cho: \(m \le {u_n} \le M\,,\,\,\forall n \in {N^*}\)

Giải chi tiết:

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 13}}{{3\left( {n + 1} \right) - 2}} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}}.\)

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{(3n + 1)(3n - 2)}} > 0\) với mọi \(n \ge 1\).

Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n}{\rm{  }}\forall n \ge 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) là dãy tăng.

Mặt khác: \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3(3n - 2)}} \Rightarrow  - 11 \le {u_n} < \frac{2}{3}{\rm{  }}\forall n \ge 1\)

\( \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chăn.

Vậy dãy \(({u_n})\) là dãy số tăng và bị chặn.

 Chọn A.