Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = \frac{{3{V_{SABE}}}}{{{S_{SBE}}}}\).

Giải chi tiết:

Gọi F là trung điểm của BC, do ABCD là hình vuông ta dễ dàng chứng minh được \(AF \bot BE\).

Xét tam giác vuông ABF có: \(AF = \sqrt {A{B^2} + B{F^2}}  = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABF có:

\(A{B^2} = AM.AF \Leftrightarrow AM = \frac{{A{B^2}}}{{AF}} = \frac{{{a^2}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).

Ta có: \(SA = \frac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^2}}} = a\)

Xét tam giác vuông SAM có: \(SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}}  = \sqrt {{a^2} + \frac{{4{a^2}}}{5}}  = \frac{{3a}}{{\sqrt 5 }}\).

Xét tam giác vuông BCF có: \(BE = \sqrt {B{C^2} + C{E^2}}  = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AM\\BE \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BE \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BE \bot SM \Rightarrow {S_{SBE}} = \frac{1}{2}SM.BE = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{{\sqrt 5 }}.\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\).

Ta có: \({S_{ABE}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {E;AB} \right) = \frac{1}{2}{a^2} \Rightarrow {V_{SABE}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{6}\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = \frac{{3{V_{SABE}}}}{{{S_{SBE}}}} = \frac{{\frac{{{a^3}}}{2}}}{{\frac{{3a}}{4}}} = \frac{{2a}}{3}\) .

Chọn D.