Tính tổng \(S = C_n^0 + \frac{{{3^2} - 1}}{2}C_n^1...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để tính tổng\(S = C_n^0 + \frac{{{3^2} - 1}}{2}C_n^1 + ... + \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n\)  ta tách thành hiệu \({S_1}\)  và  \({S_2}\)  với  \({S_1} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{3^{k + 1}}}}{{k + 1}}} ;\)\({S_2} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}} \)

Biến đổi \(C_n^k\frac{{{3^{k + 1}}}}{{k + 1}}\) và \(\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}\) về công thức tổng quát mới.

Công thức tổ hợp: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = C_n^0 + \frac{{{3^n}}}{2}C_n^1 - \frac{1}{2}C_n^1 + ..... + \frac{{{3^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n - \frac{1}{{n + 1}}C_n^n\\ = \left( {C_n^0 + \frac{{{3^n}}}{2}C_n^1 + ...... + \frac{{{3^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n} \right) - \left( {\frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ...... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n} \right) = {S_1} - {S_2}\end{array}\)

Trong đó:

\({S_1} = C_n^0 + \frac{{{3^2}}}{2}C_n^1 + \frac{{{3^3}}}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{3^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n\)  và   \({S_2} = \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n\)

Ta có tính  \({S_2}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!{\rm{[(}}n + 1) - (k + 1))!}} = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\\\end{array}\)

Với \(k = 1;\;2;...;\;n\) ta có \({S_2} = \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 1}^n {C_{n + 1}^{k + 1}}  = \frac{1}{{n + 1}}({2^{n + 1}} - 1) - 1 = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} - 1\)

Tính \({S_1} = ?\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{3^{k + 1}}}}{{k + 1}}C_n^k = {3^{k + 1}}\frac{{n!}}{{(k + 1)!(n - k)!}} = \frac{{{3^{k + 1}}}}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!{\rm{[}}(n + 1) - (k + 1){\rm{]!}}}} = \frac{{{3^{k + 1}}}}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\\ \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^n {{3^{k + 1}}C_{n + 2}^{k + 1}}  - 2C_n^0 = \frac{1}{{n + 1}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {{3^k}C_{n + 1}^k}  - C_n^0} \right) - 2C_n^0 = \frac{{{4^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} - 2\end{array}\)

Vậy \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{{4^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} - 2 - \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} + 1 = \frac{{{4^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}} - 1\).

Chọn D