Phương trình \({\cos ^3}x + {\sin ^3}x + 2{\sin ^2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Dùng hẳng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)

+) Xét điều kiện \(\sin x > 0\)để loại bớt các họ nghiệm không phù hợp.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{\cos ^3}x + {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \;{\cos ^3}x + {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right) + \left( {2{{\sin }^2}x - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right) + \left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x + \sin x - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\sin x =  - 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\\sin x =  - 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + m2\pi \\x = l2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k,\;m,\;l \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Do \(\sin x > 0\) nên chỉ có họ nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \) với \(k = 2i + 1\,\,\left( {i \in \mathbb{Z}} \right)\) thõa mãn.

Xét: \(0 <  - \frac{\pi }{4} + \left( {2i + 1} \right)\pi  < 1000 \Leftrightarrow i \in \left\{ {0;\;1;..;\;158} \right\}\). Phương trình có 159 nghiệm thõa mãn yêu cầu.

Chọn A.