Cho phương trình \(5\sin 2x + \sin x + \cos x + 6...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x + \cos x\;\;\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right).\)

Biến đổi \(sin2x = {t^2} - 1.\)

Thay t vào phương trình : đưa về phương trình bậc 2 ẩn t.

Hai phương trình tương đương có cùng tập nghiệm. So sánh với các đáp án  A, B, C, D rồi chọn đáp án đúng nhất.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\). Điều kiện \( - \,\sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 .\)

Ta có \({t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2.\sin x.\cos x \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1.\)

Khi đó, phương trình đã cho trở thành \(5\left( {{t^2} - 1} \right) + t + 6 = 0 \Leftrightarrow 5{t^2} + t + 1 = 0\): vô nghiệm.

Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình \(1 + {\tan ^2}x = 0.\)

Chọn D