Hai nghiệm bất kì của phương trình \(2{\sin ^3}x -...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-        Dùng công thức nhân đôi và nhóm nhân tử

\(2{\sin ^3}x - 1 + 2{\sin ^2}x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2(\sin x + 1){\sin ^2}x + \left( {\cos x - 1} \right) = 0\)

Giải chi tiết:

  \(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 1 + 2{\sin ^2}x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2(\sin x + 1){\sin ^2}x + \cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2(\sin x + 1)(1 - {\cos ^2}x) + \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {2(\sin x + 1)(\cos x + 1) - 1 = 0} \right]\\ \Leftrightarrow (1 - \cos x)\left[ {{{(\sin x + \cos x)}^2} + 2(\sin x + \cos x)} \right]\\ \Leftrightarrow (1 - \cos x)(\sin x + \cos x)(\sin x + \cos x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \cos x = 0\\\sin x + \cos x = 0\\\sin x + \cos x + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,(vn)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{4} + m\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

 Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

Hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\)của phương trình, nếu cùng 1 họ nghiệm thì khoảng cách nhỏ nhất\(\pi \) hoặc  \(2\pi \). Nếu chúng thuộc hai họ nghiệm khác nhau, xét:

\(\left| {k2\pi  - \left( { - \frac{\pi }{4} + m\pi } \right)} \right| = \left| {\frac{\pi }{4} + \pi \left( {2k - m} \right)} \right|\) nhỏ nhất khi chỉ khi \(2k = m\), khoảng cách nhỏ nhất là \(\frac{\pi }{4}\).